«Условие перпендикулярности прямой и плоскости» - Перпендикуляр и наклонная. Перпендикулярность прямых и плоскостей. Теорема о двух параллельных прямых. План построения. Прямая а перпендикулярна к плоскости АНМ. Докажем,что прямая а перпендикулярна к произвольной прямой m. Определение. Теорема о двух прямых, перпендукулярных к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Признак перпендикулярности плоскостей. Медиана. В плоскости b через точку М проведем прямую с.
«Предмет стереометрии» - Неопределяемые понятия. Точки. Геометрия. Правильные многогранники. Помните ли вы теорему Пифагора. Указания. Философская школа. Стереометрия. Аксиомы стереометрии. Невидимая сторона. Теорема Пифагора. Из истории. Египетские пирамиды. Пифагор. Понятие науки стереометрии. Наглядные представления. Вселенная. Сегодня на уроке. Планиметрия. Основные понятия стереометрии. Евклид. Пространственные представления.
«Виды правильных многогранников» - Получение серной кислоты. Платон. Тетраэдр. Звёздчатый икосододекаэдр. Звёздчатый икосаэдр. Гексаэдр. Висячие сады Семирамиды. Галикарнасский мавзолей. Многогранники в природе. Додекаэдр. Отряд. Правильные многогранники и природа. Правильные многогранники в философской картине мира Платона. Усечённый икосаэдр. Правильные многогранники. Механические головоломки. Звёздчатый додекаэдр. Звёздчатые многогранники.
«Определение двугранных углов» - Задача. Точка на ребре может быть произвольная. Замечания к решению задач. Построение линейного угла. Найдите расстояние. Решение задач. Полуплоскости, образующие двугранный угол. Теорема трёх перпендикуляров. В одной из граней двугранного угла, равного 30, расположена точка М. Перпендикуляр, наклонная и проекция. Проведем луч. Точка К удалена от каждой стороны. Градусная мера угла. Найдите угол.
«Основные аксиомы стереометрии» - Пирамида Хеопса. Аксиомы стереометрии. Аксиома. Предмет стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии. Изображения пространственных фигур. Геометрия. Плоскость. Плоскости имеют общую точку. Источники и ссылки. Точки прямой лежат в плоскости. Геометрические тела. Четыре равносторонних треугольника. Следствия из аксиом. Основные фигуры в пространстве. Первые уроки стереометрии. Древняя китайская пословица.
«Параллелепипед» - Свойства диагоналей прямоугольного параллелепипеда. Наклонный параллелепипед. Отрезок, соединяющий две вершины. Основные элементы параллелепипеда. Вывод формулы объёма прямоугольного параллелепипеда. Параллелепипед. «Зальцбургский параллелепипед». Призма, основанием которой служит параллелограмм. Объем параллелепипеда. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Любую пару параллельных граней можно принять за основания.
Презентация на тему "Прямоугольная система координат в пространстве" по алгебре в формате powerpoint. В презентации для школьников дается понятие прямоугольной системы координат в пространстве, а также приведены задачи на нахождение координат точки. Автор презентации: Кошкарева Галина Фёдоровна.
Фрагменты презентации
Цель урока: ввести понятие прямоугольной системы координат в пространстве.
Умения и навыки: выработать умения строить точку по заданным её координатам и находить координаты точки, изображённой в заданной системе координат.
Идея координат зародилась в науке Вавилона и Греции в связи с потребностью географии, астрономии и мореплавания. Во II в. греческий учёный Гиппарх предложил определять положение точки на земной поверхности с помощью географических координат – широты и долготы, выражаемых числами.
В IIV в. француз Оресм перенёс эту идею в математику.В XIX в. французский учёный Рене Декарт перенёс эту идею в математику, предложив покрывать плоскость прямоугольной сеткой. Работа М.Эшера отражает идею введения прямоугольной системы координат в пространстве.
Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана система координат в пространстве. Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат.
- Ох – ось абсцисс,
- Оу – ось ординат,
- Оz – ось аппликат.
Три плоскости, проходящие через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями: Оху, Оуz, Оzх.
В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел – её координаты. М (х,у,z), где х – абсцисса, у – ордината, z - аппликата.
Итог урока
На уроке познакомились с прямоугольной системой координат, научились строить точку по заданным ее координатам и находить координаты точки, изображенной в заданной системе координат. Декартова система координат не единственная. К следующему уроку найти в Интернете другие системы координат.
Урок № 3
МЕТОД КООРДИНАТ В
ПРОСТРАНСТВЕ
Декартовы координаты в пространстве
Ренее Декаерт, французский философ, математик, механик, физик и физиолог
Высь, ширь, глубь.
Лишь три координаты.
Мимо них где путь? Засов закрыт.
С Пифагором слушай сфер сонаты,
Атомам дли счёт, как Демокрит.
В. Брюсов.
1 Введение прямоугольной системы координат в пространстве.
2 Расположение точек в системе координат.
3 Нахождение координат точек в пространстве.
4 Построение точки в пространстве по её координатам.
5 Понятие радиус-вектора.
6 Разложение вектора по координатным векторам.
7 Нахождение координат вектора суммы векторов, вектора
разности векторов, вектора умноженного на данное число.
8 Решение задач.
9 Запись ДЗ.МЕТОД КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Система координат на плоскости
Y
y
Система координат в пространстве
Z
z
M(x;y)
абсцисса
ордината
О
x
1) 2 прямые
2) Точка – НК
3) Направление осей
4) Название осей
5) Точка М
6) Название
координат
точки М
X
X
1)
2)
3)
4)
x
аппликата
y
Y
Ось абсцисс
Ось ординат
Ось аппликат
OX; OY; OZ
5) Координатные плоскости
6) Точка М
7) Название
координат
точки М
ордината
M(x;y;z)
О
3 прямые
Точка – НК
Направление осей
Название осей
абсцисса
XOY; XOZ; YOZРазличные расположения точек в системе координат
Z
K
T
M
L
N
О
Y
P
X
Расположение точки в системе координат
на оси ОХ
в плоскости ХOY
на оси ОY
в плоскости YOZ
на оси ОZ
в плоскости ХOZ1) Нахождение координат точек
2) Нахождение координат точек
Дан куб с длиной ребра 2
Z
C1
B1
A1
A
2
D1
B
Y
Дан прямоугольный параллелепипед
с измерениями 2; 5; 7
2
X
Z
B1
A1
C
D
2
Найдите координаты всех вершин куба
A
X
D1
5
2
B
7
C
D
Найдите координаты всех вершин
прямоугольного параллелепипеда
3) Построение точки по её координатам
Постройте точки в прямоугольной
системе координат:
М(3; 4; 5) и Т(-2; 5; -7)
C1
YКоординаты вектора
Разложение вектора
по координатным векторам
Z
С
ОМ ОА ОВ ОС
М
k
О
X
А
j
по правилу параллелепипеда
ОМ xi yj zk
В Y
i
р
ОМ {x; y; z}
радиус - вектор
М (x; y; z)
Координаты радиусвектора равны
координатам конца
данного вектора
Равные векторы имеют
одинаковые координаты
р{x; y; z}
р xi yj zka{x1;y1;z1}
Координаты
суммы векторов
b{x2;y2;z2}
Координаты
разности векторов
(a+b){ }
(a-b){ }
сложить
соответствующие
координаты
Координаты вектора,
умноженного на число
ka{ }
каждую
координату
умножить на это
число
вычесть
соответствующие
координаты4) Дано разложение вектора по единичным векторам, запишите координаты вектора.
р 3i 2 j k , р j 6k , р k .
5) Даны координаты вектора, запишите разложение вектора по единичным векторам.
р{ 3;6;1}, р{ 2;5;0}, р{0; 1;0}.Домашнее задание с урока 3:
п.46, 47 и конспект, уметь составить грамотный рассказ,
№ 400, 402, 403, 404, 410
на следующем уроке простейшая СР
Разделы: Математика
Цели урока:
Образовательные: Рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве; вывести формулу расстояния в координатах; вывести формулу координат середины отрезка.
Развивающие: Способствовать развитию пространственного воображения учащихся; способствовать выработке решения задач и развития логического мышления учащихся.
Воспитательные: Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога. Оборудование: Чертежные принадлежности, кристаллическая решетка соли.
Тип урока: Урок изучения нового материала (2 часа).
Структура урока:
- Организационный момент.
- Введение.
- Сообщение целей урока.
- Мотивация.
- Актуализация.
- Изучение нового материала.
- Осмысление и осознание.
- Закрепление.
- Итог урока.
Опережающее задание: подготовить доказательство теорем и вывод формул, сообщение о Рене Декарте.
Технология обучения: Технология программированного обучения (блочное обучение).
Ход урока
1. Организационный момент. Добрый день.
2. Введение.
Сегодня на уроке мы начинаем изучать четвертый блок курса геометрии 10 класса “Декартовы координаты и векторы в пространстве”.
Знакомство с таблицей четвертого блока (таблица лежит на каждой парте).
10 класс. Декартовы координаты и векторы в пространстве. Блок № 4
Количество часов - 18 часов
| Наименование тем | Теория (учебник) |
Практикум | Самостоятельная работа | Зачет по теории | Контрольные работы |
| Введение: Декартовы координаты в
пространстве. Расстояние между точками. Координаты середины отрезка. |
П.152 | Практическая работа №6 | Самостоятельная работа №5 | Геометрический диктант. | Домашняя контрольная работа №4 Классная контрольная работа №4 |
| Симметрия. Параллельный перенос. Движение. |
П.155,п.156 | Практическая работа №7 |
Самостоятельная работа №6 |
Зачетная карточка №3 | Домашняя контрольная работа №5 Классная контрольная работа №5 |
| Угол между: Скрещивающими прямыми; Прямой и плоскостью; Плоскостями. 9. Площадь ортогональной проекции многоугольника. |
Практическая работа №8 | Зачетная карточка №4 | |||
| Векторы в пространстве. | П.164 | Практическая работа №9 | Зачетная карточка№5 |
Какую тему созвучную с темой нашего урока мы изучали в 8 классе? Какое ключевое слово определяют эти две темы? (Координаты). Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом различных способов.
Решая геометрическую, физическую, химическую задачу можно использовать различные координатные системы: прямоугольную, полярную, цилиндрическую, сферическую. (Показ моделей кристаллической решётки поваренной соли)
В общеобразовательном курсе изучается прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Иначе её называют Декартовой системой координат по имени французского ученого философа Рене Декарта (1596 – 1650) впервые введшего координаты в геометрию.
(Рассказ ученика об Рене Декарте.)
Рене Декарт родился в 1596 г. в городе Лаэ на юге Франции, в дворянской семье. Отец хотел сделать из Рене офицера. Для этого в 1613 г. он отправил Рене в Париж. Много лет пришлось Декарту пробыть в армии, участвовать в военных походах в Голландии, Германии, Венгрии, Чехии, Италии, в осаде крепости гугенотов Ла-Рошали. Но Рене интересовала философия, физика и математика. Вскоре по приезде в Париж он познакомился с учеником Виета, видным математиком того времени - Мерсеном, а затем и с другими математиками Франции. Будучи в армии, Декарт все свое свободное время отдавал занятиям математикой. Он изучил алгебру немецких, математику французских и греческих ученых.
После взятия Ла-Рошали в 1628 г. Декарт уходит из армии. Он ведет уединенный образ жизни с тем, чтобы реализовать намеченные обширные планы научных работ.
Философские взгляды Декарта не соответствовали требованиям католической церкви. Поэтому он переселился в Голландию, где прожил 20 лет, с 1629 по 1649 г., но из-за гонений протестантской церкви в 1649 г. переехал в Стокгольм. Но суровый северный климат Швеции оказался для Декарта губительным, и он умер от простуды в 1650 г.
Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. В основе его философии лежал материализм. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой.
Р. Декарт - французский ученый (1596- 1650)
3. Сообщение цели урока.
Сегодня на уроке мы продолжим изучение декартовой системы координат, и покажем, что координаты в пространстве вводятся также просто, как и координаты на плоскости.
4. Мотивация.
В своё время Рене Декарт сказал: “… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”. Я предоставлю вам возможность и удовольствие разобраться с декартовой системой координат самостоятельно.
5. Изучение нового материала .
Пояснение. Технология блочного изучения предусматривает изучение нескольких тем на уроке. На уроке будет рассмотрено три темы. Каждая тема будет содержать следующую структуру:
- Изучение нового материала (изучение построено на основе сравнительного анализа основных понятий и формул рассмотренных в планиметрии и доказательстве необходимых теорем);
- Осознание и осмысление.
На основе известного вам материала за 8 класс, мы с вами заполним таблицу. Сделаем сравнительную характеристику.
(На доске нарисована таблица, её необходимо заполнить вместе с учениками. Рассмотреть основные понятия декартовых координат, формулу расстояния между точками, формулы координат середины отрезка на плоскости, и попытаться учащимся самим сформулировать основные понятия и формулы в пространстве)
| На плоскости | В пространстве |
| Определение. | Определение. |
| 2 оси, ОУ- ось ординат, ОХ- ось абсцисс |
3 оси, ОХ - ось абсцисс, ОУ – ось ординат, ОZ - ось аппликат. |
| ОХ перпендикулярна ОУ | ОХ перпендикулярна ОУ, ОХ перпендикулярна ОZ , ОУ перпендикулярна ОZ. |
| (О;О) | (О;О;О) |
| Направление, единичный отрезок | |
| Расстояние между точками. | Расстояние между точками. d = v (х2 - х1)? + (у2 - у1)? + (z2 – z1)? |
| Координаты середины отрезка.
|
Координаты середины отрезка. |
Для беседы используются рисунки:
 |
 |
Вопросы для заполнения первой части таблицы.
1. Сформулируйте определение декартовой системы координат?
2. Попробуйте сформулировать определение декартовой системы координат в пространстве?
3. Назовите оси координат на плоскости? Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”)
4. Какие плоскости рассматриваются в планиметрии (в пространстве)?
5. Назовите координату начала координат на плоскости (в пространстве)?
6. Какие еще компоненты должна иметь система координат на плоскости и в пространстве?
7. Как задается координата точки на плоскости и в пространстве?
Вывод:
Расскажите, как вводится, декартова система координат в пространстве и из чего она состоит?
При беседе построить рисунок фронтально-диметрической проекции осей.
Рассмотреть положение осей в соответствии с черчением.
Построить точку с заданными координатами А (2; - 3).
Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3).
Рассмотреть построение на доске. Работа по карточкам (2 человека у доски).
Работа с классом: задача № 3 из учебника, страница 287, устно.
Вопросы для заполнения второй части таблицы.
1. Запишите формулу расстояния между точками на плоскости.
2. Как бы вы записали формулу расстояния между точками в пространстве?
Докажем её справедливость (вывод формулы - п. 154, стр. 273)
Опережающее задание - вывод формулы на доске учащимся.
Работа по карточкам 2 человека у доски.
Найти длину отрезка:
- А (1;2;3;) и В (-1; 0; 5)
- А (1;2;3) и В (х; 2 ;-3)
Работа с классом: Задача № 5 на странице 288 .
Вопросы для заполнения третьей части таблицы.
1. Как запишется формулы координат середины отрезка?
2. Как бы вы записали формулы координат середины отрезка?
Докажем её справедливость (вывод формулы п. -154 стр., 273) .
Опережающее задание - вывод формулы координат середины отрезка у доски.
Работа с классом. Устно.
Найдите координаты точки М - середины отрезка
А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0)
- Является ли точка В серединой отрезка АС?
Работа с классом: Задача № 9 страница 288.
Закрепление.
Практикум: Решение задач (Практическая работа).
Во время решения задач - опрос учащихся по предыдущим темам и вновь изученному материалу (доказательство теорем).
Домашнее задание: учить п. 152, 153,154 , вопросы 1 – 3, задачи 3, 4, 6, 10, подготовиться к геометрическому диктанту.
Итог урока.
- Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?
- Как определяются координаты точки в пространстве?
- Чуму равна координата начала координат?
- Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?
- Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?
Оценивание (учитель самостоятельно выставляет оценки за работу на уроке и объявляет их учащимся).
Организационный момент. Спасибо за урок. До свидания.
Литература.
- А.В. Погорелов. Учебник 7-11. М. “Просвещение”, 19992-2005г.г.
- И.С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах. М, “Просвещение”, 1987 г.