Аксиома параллельности Евклида

Аксиома параллельности Евклида , или пятый постулат - одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида:

Евклид различает понятия постулат и аксиома , не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

В плоскости через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

§ Существует прямоугольник (хотя бы один ), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

§ Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса , 1693).

§ Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

§ Существует треугольник сколь угодно большой площади.

§ Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца , 1791).

§ Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

§ Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую - сближаются.

§ Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

§ Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

§ Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,

§ Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона , 1756).

§ Сумма углов одинакова у всех треугольников.

§ Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

§ Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского , 1855).

§ Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

§ Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

§ Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи ).

§ Справедлива теорема Пифагора.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

Если вместо V постулата допустить, что для пары точка-прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Система аксиом сферической геометрии требует изменения также и других аксиом Евклида..

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

«Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных». Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. В.П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой. М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой. Надо пояснить, что античные математики избегали использовать актуальную бесконечность; например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны.

Сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так :

Если [на плоскости] при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Уточнение, с какой именно стороны пересекаются прямые, Евклид добавил, вероятно, для ясности - легко доказать, что оно вытекает из самого факта существования пересечения .

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение двух тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида» . Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных , эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

Постулат Прокла

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них .

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

«Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных». Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. В. П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой . М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой. Надо пояснить, что античные математики избегали использовать актуальную бесконечность; например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны. Ещё одну версию выдвинул историк Имре Тот : евклидова формулировка, возможно, была вначале (ошибочно доказанной) теоремой у кого-то из предшественников Евклида, и когда убедились, что доказать её не удаётся, статус теоремы повысили до постулата, не меняя текста формулировки.

Абсолютная геометрия

Если из списка аксиом исключить V постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию . В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования V постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии. Для дальнейшего отметим две теоремы абсолютной геометрии:

Попытки доказательства

Математики с давних времён пытались «улучшить Евклида» - либо исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы, либо заменить его другим, столь же очевидным, как другие постулаты. Надежду на достижимость этого результата поддерживало то, что IV постулат Евклида (все прямые углы равны ) действительно оказался лишним - он был строго доказан как теорема и исключён из перечня аксиом.

За два тысячелетия было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг : оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же пятого постулата.

Доказательство Прокла

После упадка античной культуры V постулатом занялись математики стран ислама. Доказательство ал-Джаухари , ученика ал-Хорезми (IX век) , неявно подразумевало: если при пересечении двух прямых какой-либо третьей накрест-лежащие углы равны, то то же имеет место при пересечении тех же двух прямых любой другой. И это допущение равносильно V постулату.

Саккери рассматривает всё те же три гипотезы о 4-м угле четырёхугольника Ламберта. Гипотезу тупого угла он отверг сразу по формальным соображениям. Легко показать, что в этом случае вообще все прямые пересекаются, а тогда можно заключить, что V постулат Евклида справедлив - ведь он как раз и утверждает, что при некоторых условиях прямые пересекаются. Отсюда делается вывод, что «гипотеза тупого угла всегда целиком ложна, так как она сама себя разрушает » .

После этого Саккери переходит к опровержению «гипотезы острого угла», и здесь его исследование гораздо интереснее. Он допускает, что она верна, и, одно за другим, доказывает целый ряд следствий. Сам того не подозревая, он продвигается довольно далеко в построении геометрии Лобачевского . Многие теоремы, доказанные Саккери, выглядят интуитивно неприемлемыми, но он продолжает цепочку теорем. Наконец, Саккери доказывает, что в «ложной геометрии» любые две прямые или пересекаются, или имеют общий перпендикуляр, по обе стороны от которого они удаляются друг от друга, или же удаляются друг от друга с одной стороны и неограниченно сближаются с другой. В этом месте Саккери делает неожиданный вывод: «гипотеза острого угла совершенно ложна, так как противоречит природе прямой линии » .

Видимо, Саккери чувствовал необоснованность этого «доказательства», потому что исследование продолжается. Он рассматривает эквидистанту - геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от прямой; в отличие от своих предшественников, Саккери понимает, что в рассматриваемом случае это вовсе не прямая. Однако, вычисляя длину её дуги, Саккери допускает ошибку и приходит к реальному противоречию, после чего заканчивает исследование и с облегчением заявляет, что он «вырвал эту зловредную гипотезу с корнем ». К сожалению, пионерская работа Саккери, изданная посмертно, не обратила на себя того внимания математиков, которого заслуживала, и только спустя 150 лет () его соотечественник Бельтрами обнаружил этот забытый труд и оценил его историческое значение.

Сферическая геометрия: все прямые пересекаются

Ламберт первым обнаружил, что «геометрия тупого угла» реализуется на сфере, если под прямыми понимать большие круги . Он, как и Саккери, вывел из «гипотезы острого угла» множество следствий, причём продвинулся гораздо дальше Саккери; в частности, он обнаружил, что дополнение суммы углов треугольника до 180° пропорционально площади треугольника.

В своей книге Ламберт проницательно отметил:

Мне кажется очень замечательным, что вторая гипотеза [тупого угла] оправдывается, если вместо плоских треугольников взять сферические. Я из этого почти должен был бы сделать вывод - заключение, что третья гипотеза имеет место на какой-то мнимой сфере . Во всяком случае, должна же существовать причина, почему она на плоскости далеко не так легко поддаётся опровержению, как это могло быть сделано в отношении второй гипотезы.

Ламберт не нашёл противоречия в гипотезе острого угла и пришёл к заключению, что все попытки доказать V постулат безнадёжны. Он не высказал каких-либо сомнений в ложности «геометрии острого угла», однако, судя по другому его проницательному замечанию, Ламберт размышлял о возможной физической реальности неевклидовой геометрии и о последствиях этого для науки :

В этом есть что-то восхитительное, что вызывает желание, чтобы третья гипотеза была справедлива. И всё же я хотел бы <…>, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с целым рядом <…> неудобств. Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобие и пропорциональность фигур не существовали бы вовсе <…>, астрономии пришлось бы плохо.

Замечательная работа Ламберта, как и книга Саккери, далеко опередила своё время и не вызвала интереса у тогдашних математиков. Та же судьба постигла «астральную геометрию» немецких математиков Ф. К. Швейкарта () и Ф. А. Тауринуса (), по идеям близкую к построенной Ламбертом.

Тем временем попытки «смыть пятна» с Евклида продолжались (Луи Бертран, Лежандр , Семён Гурьев и другие). Лежандр дал целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году , за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии.

Открытие неевклидовой геометрии

Допущение, что сумма трёх углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой) геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной [кривизны], значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к евклидовой геометрии, а бесконечно большое её значение приводит обе системы к совпадению. Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неевклидовой геометрии противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственное, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. (Из письма к

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Выполнил ученик 7 класса «Г» МБОУ «ОК «Лицей №3» Гаврилов Дмитрий

Аксиома
Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный».Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории. (Советский энциклопедический словарь)

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Аксиома параллельных прямых Выполнил ученик 7 класса «Г» МБОУ «ОК «Лицей № 3» Гаврилов Дмитрий 2015-2016 уч.г (учитель Конарева Т.Н.)

Известные определения и факты. Закончи предложение. 1. Прямая х называется секущей по отношению к прямым а и b , если… 2. При пересечении двух прямых секущей образуется … неразвернутых углов. 3. Если прямые АВ и С D пересечены прямой В D , то прямая В D называется… 4. Если точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 5. Если точки В и D лежат в одной полуплоскости относительно секущей АС, то углы ВАС и DCA называются… 6. Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары… D C А С В D A B

Проверка задания. 1 . …если она пересекает их в двух точках 2. 8 3. … секущей 4. … накрест лежащими 5. … односторонними 6. … равны

Найдите соответствие a) a b m 1) a | | b , так как внутренние накрест лежащие углы равны б) 2) a | | b , так как соответственные углы равны в) a b 3) a | | b , так как сумма внутренних односторонних углов равна 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º

Об аксиомах геометрии

Аксиома Происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Положение, принимаемое без логического доказательства в силу непосредственной убедительности, истинное исходное положение теории. Советский энциклопедический словарь

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна Сколько прямых можно провести через любые две точки, лежащие на плоскости?

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один Сколько отрезков данной длины можно отложить от начала луча?

От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один Сколько углов равных данному можно отложить от данного луча в заданную полуплоскость?

аксиомы теоремы логические рассуждения знаменитое сочинение «Начала» Евклидова геометрия Логическое построение геометрии

Аксиома параллельных прямых

М а Докажем, что через точку М можно провести прямую, параллельную прямой а с в а ┴ с в ┴ с а ІІ в

Можно ли через точку М провести еще одну прямую, параллельную прямой а? а М в в 1 А можно ли это доказать?

Многие математики, начиная с древних времен, пытались доказать данное утверждение, а в «Началах» Евклида это утверждение называется пятым постулатом. Попытки доказать пятый постулат Евклида не увенчались успехом, и лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, не может быть доказано на основе остальных аксиом Евклида, а само является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский.

Пятый постулат Евклида 1792-1856 Николай Иванович

«Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной». «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной». Какое из данных утверждений является аксиомой? Чем отличаются вышеуказанные утверждения?

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называют следствиями Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b , c b ⇒ c a Аксиома параллельности и следствия из неё. а А Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с a II b а b с c b

Закрепление знаний. Тест Отметить знаком «+» правильные утверждения и знаком «-» - ошибочные. Вариант 1 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, требующее доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая. 3. На любом луче от начала можно отложить отрезки, равные данному, причем сколько угодно много. 4.Через точку не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. 5. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Вариант 2 1. Аксиомой называется математическое утверждение о свойствах геометрических фигур, принимаемое без доказательства. 2. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. 3. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят только две прямые, параллельные данной. 4. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна другой прямой. 5. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Ответы теста Вариант 1 1. «-» 2. «-» 3. «-» 4. «+» 5. «+» Вариант 2 «+» «+» «-» «-» «+»

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение». (В. Произволов)

§ 1 Аксиома параллельных прямых

Выясним, какие утверждения называются аксиомами, приведем примеры аксиом, сформулируем аксиому параллельных прямых и рассмотрим некоторые её следствия.

При изучении геометрических фигур и их свойств возникает необходимость в доказательстве различных утверждений - теорем. При их доказательстве часто опираются на ранее доказанные теоремы. Возникает вопрос: а на чем основаны доказательства самых первых теорем? В геометрии приняты некоторые исходные положения, на их основе и доказываются далее теоремы. Такие исходные положения называются аксиомами. Аксиома принимается без доказательств. Слово аксиома происходит от греческого слова «аксиос», что означает «ценный, достойный».

С некоторыми аксиомами мы уже знакомы. Например, аксиомой является утверждение: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

При сравнении двух отрезков и двух углов мы накладывали один отрезок на другой, а угол накладывали на другой угол. Возможность такого наложения вытекает из следующих аксиом:

·на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один;

·от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Геометрия - древняя наука. Почти два тысячелетия геометрия изучалась по знаменитому сочинению «Начала» древнегреческого ученого Евклида. Евклид сначала формулировал исходные положения - постулаты, а затем на их основе путем логических рассуждений доказывал другие утверждения. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. В рукописях ученого есть утверждение, называемое пятым постулатом, вокруг которого очень долгое время разгорались споры. Многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат Евклида, т.е. вывести его из других аксиом, но каждый раз доказательства были неполными или заходили в тупик. Лишь в XIX веке было окончательно выяснено, что пятый постулат не может быть доказан на основе остальных аксиом Евклида, и сам является аксиомой. Огромную роль в решении этого вопроса сыграл русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856). Итак, пятый постулат - аксиома параллельных прямых.

Аксиома: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

§ 2 Cледствия из аксиомы параллельных прямых

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом или теорем, называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: прямые а и b параллельны, прямая с пересекает прямую а в точке А.

Доказать: прямая с пересекает прямую b.

Доказательство: если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку А проходили бы две прямые а и с, параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Значит, прямая с пересекает прямую b.

Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Дано: прямые а и b параллельны прямой с. (а||с, b||с)

Доказать: прямая а параллельна прямой b.

Доказательство: допустим, что прямые а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке А. Тогда через точку А проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельна данной. Значит, наше предположение неверно, следовательно, прямые а и b параллельны.

Список использованной литературы:

1. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
2. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004, 288с. – (В помощь школьному учителю).
3. Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.

Использованные изображения: